Архив форумов ЦИТФорума

[Vadym]

Подскажите, как решить такую задачу по алгебре. Дано алгебраическое число а, доказать, что существует натуральное n такое, что na - целое алгебраическое число.
Целое алг. число - число, являющееся корнем многочлена с целыми коэффициентами и старшим коэфф. 1; или число, минимальный многочлен которого имеет целые коэфф. (минимальный - значит неприводимый над полем рациональных чисел).
Я попробовал взять n как наименьшее общее кратное знаменателей рациональных коэффициентов минимального многочлена для а. Тогда значение этого многочлена от na целое, и достаточно немного изменить свободный член. Но неясно, будет ли этот многочлен неприводимым. (Неприводимость над полем рац. чисел проверяется с пом. критерия Эйзенштейна: сущ. простое p, которое делит все коэффициенты, кроме старшего и квадрат p не делит свободный член).
Если у кого то есть идеи, поделитесь.