Архив форумов ЦИТФорума

[Vadym]

Пройдёт ли такое решение?

Условие:
Пусть последовательность {T_n} конечных совокупностей попарно непересекающихся отрезков с суммами длин >=1 обладает следующим свойством: каждая точка xЄR принадлежит лишь конечному числу отрезков совокупностей T_n. Доказать, что объединение отрезков совокупностей Т_n - неограниченное множество.

Моё решение:
Пусть объединение отрезков совокупностей Т_n - ограниченное множество, полностью содержащееся в отрезке [m, M], m<M. Выберем на отрезке [m, M] точки x_1,…,x_n: расстояние между x_k, x_k+1 = 1, расстояние от x_1, x_n до ближайшего из концов отрезка [m, M] <=1. A:={x_1,…,x_n}. По построению, каждый отрезок из {T_n}пересекается с единственным x_kЄA. По условию, каждое x_k принадлежит конечному числу отрезков. -> |{T_n}|<infinity, хотя последовательность {T_n} бесконечна.