Архив форумов ЦИТФорума

[Aragaer]

На плоскости без единичного диска (радиус 1, центр в 0) определена функция f(r, ф) = 1/(r^2 - 1). (полярные координаты тут удобнее)
Ставим произвольную точку на плоскости (допустим (R, 0), R больше 1 на какую-то значительную величину... допустим R > 1.5).

Задача в том, чтобы провести такую замкнутую гладкую кривую, которая бы обходила вокруг выброшенного диска, проходила через указанную точку, а интеграл описанной выше функции по этой кривой был бы минимальным.

Пункт два - допустим точек две, (R1, 0) и (R2, п). Чуть меньше степеней свободы, а вопрос тот же - гладкая кривая, минимальное значение интеграла.

Внутренний голос подсказывает, что должно быть что-то естественное, вроде круга или эллипса...
_________________
Open your eyes.
And Awaken.

[Aragaer]

Продолжил размышлять и решил перекинуть все уже на отрезок [0;1] - предположил, что кривая не будет слишком хитрой, а потому можно будет вместо замкнутой кривой рассматривать просто R(t), где t лежит на отрезке, а значения в концах отрезка равны.

Затем решил, что можно описать отображение из множества функций на [0;1] в вещественные числа:
L(f) = интеграл по отрезку sqrt(f'^2 +1)dt/(f^2 -1), (тот самый интеграл по длине получается).

Затем хочется найти "производную L в точке f", то есть такой линейный функционал L'(f), который можно применить к какому-то очень малому g, чтобы в итоге выполнялось равенство
L(f+g) = L(f) + L'(f)*g + o(||g||)

В процессе вычислений понадобилось предположить, что g' это тоже o(1). В итоге получился такой вот результат:
L'(f)*g = -g*sqrt(f'^2 +1)/(f^2 -1)^2 + g'f'/sqrt(f'^2 +1)
Он, вобщем, линейный, но что-то такое придумать дальше не получается. А хотелось бы из этого вывести все такие f, когда L'(f) является тождественным нулем (а это значит, скорее всего, что это тот самый минимум L(f), который я и ищу)....
_________________
Open your eyes.
And Awaken.