Архив форумов ЦИТФорума

[Константин Давидюк]

Метрическая схема доказательства счетности действительных чисел.

Регистрационный номер: №243 В-2008 от 25.03.2008г.

Введение.
В данной работе приводится метрическая схема доказательства счетности действительных чисел (N↔R).. Поскольку каждому действительному числу от 0 до 1 соответствует точка отрезка [0, 1], мы будем называть точки отрезка числами.

Обозначения:

↔ эквивалентно (равномощно)
→ знак соответствует
N множество натуральных чисел
R множество действительных чисел
[0, 1] отрезок от 0 до 1
+ операция объединения

Разбиение отрезка.

Возьмем любое натуральное число n большее 0 и 1. Пусть это будет число 2. Схема подходит для любого натурального числа: достаточно вместо числа 2 подставить любое другое натуральное число большее 0 и 1. Далее разобьем отрезок на две части (необязательно равные). Для наглядности будем в дальнейшем разбивать на равные части. Каждый из получившихся отрезков снова разобьем на 2 части и т.д. В результате получим следующую последовательность систем отрезков:

А1= ([0, 1/2]; [1/2, 1]) – 1-ый этап,
А2 = ([0, 1/4]; [1/4, 2/4]; [2/4, 3/4]; [3/4, 1]) – 2-ой этап,
:
Аn= ([0, 1 / 2^n]; … [2^n – 1 / 2^n, 1]) – n-ый этап
и т.д.

При неограниченном увеличении n обозначим через Ар результат предельного перехода (n →∞).
Рассмотрим отрезок [m / 2^n; m +1 / 2^n] где 0 ≤ m ≤ 2^n - 1. Этот отрезок удовлетворяет следующим условиям:

1. При стремлении n к бесконечности концы отрезка имеют пределом одно и то же действительное число x (отрезок стягивается в точку).
2. Длина этого отрезка стремится к 0, при стремлении n к бесконечности.

Счетность множества действительных чисел.

Если мы устремим n к бесконечности, то отрезок [m / 2^n, m+1 / 2^n] будет иметь своим пределом отрезок типа [x, x], где число x лежит между 0 и 1 (0≤ x ≤1) по построению. С другой стороны, для любого x (0≤ x ≤1) каждый отрезок типа [x, x] будет результатом стягивания концов одного из отрезков в построении, так как на каждом этапе n система отрезков An полностью покрывает отрезок [0, 1]:

[0, 1 / 2^n]+ …+ [2^n -1 / 2^n, 1] = [0, 1].

Итак, результат предельного перехода - система Ар отрезков типа [x, x] длины 0, для любого x (0≤ x ≤1). На каждом этапе n система Аn имеет 2^n элементов (система конечна), значит, система Ар, как результат последовательности конечных систем,- не более чем счетна (счетна). Далее, отрезку [x, x] можно поставить в соответствие число x, для этого надо взять функцию F: [x, x] → x. Функция F устанавливает взаимнооднозначное соответствие между счетной системой Ар и действительными числами отрезка [0, 1]. А это, в свою очередь, означает счетность множества действительных чисел. Если в рассмотрении использовать функцию G: [х, х] → х, где х – точка, то получаем доказательство счетности точек отрезка.

В доказательстве мы опирались на понятие длины отрезка (метрическое понятие). Поэтому построение носит название метрической схемы.

О ложности метода Кантора.

Рассмотрим указанную выше схему для n = 10 (разбиение кратное 10), где х принадлежит отрезку [0, 1]. Любой отрезок [х, х], можно представить как предел вложенных отрезков (см. построение); число x - как предел последовательности левых концов этих отрезков (можно рассматривать правые концы). Обозначим через А систему всех таких последовательностей. Таким образом, любое число х можно представить как предел последовательности, которая является элементом системы А:

0, а1; 0, а1,а2; 0, а1,а2,а3…→ х *

В доказательстве о несчетности Кантор отождествляет последовательность и ее предел, записывая это так: 0, а1, а2, а3, … (!)
Метод Кантора, примененный к системе А, дает последовательность, которая будет последовательностью выше указанного типа (*). Ее пределом будет некоторое число х отрезка [0, 1]. Но для этого числа х уже есть сходящаяся к нему последовательность (по разбиению). Таким образом, чтобы доказать свое предположение о несчетности действительных чисел, Кантор допускает две ошибки:

1. Отождествляет два различных понятия (последовательности и ее предела), забывая о том, что для одного и того же действительного числа х существует большое количество последовательностей, сходящихся к этому числу.

2. Построенная методом Кантора последовательность дублирует одну из исходных т.е. принадлежит А (см. построение А).

Исходя из сказанного, метод Кантора дает последовательность (ее предел - х), которой нет в списке (ряду последовательностей) только в том случае, когда список составлен специальным образом. При этом в списке все равно будет такая последовательность, которая имеет своим пределом число х. Это заблуждение Кантора рассмотрено также на теоритико-множественном уровне в работе «Отсутствие мощности континуума и счетность множества действительных чисел».

Выводы.

1. Доказана счетность множества действительных чисел метрическим способом (способ разбиения отрезка на части).
2. Указано на ошибки в доказательстве Кантора о несчетности с метрической точки зрения.

[Константин Давидюк]

Теорема. Любая последовательность конечных множеств имеет своим пределом множество, которое не более чем счетно (счетно).

Доказательство: Рассмотрим возрастающую последовательность конечных множеств:

А1, А2, А3....... (предел равен А)

Если предыдущее множество не входит в последуешее , то создадим новую. Для этого выделяем любое подмножество из А2 равное по количеству А1 и заменяем его элементы на элементы А1. И т.д. В результате мы придем к последовательности, которая удовлетворяет правилу включения:

В1, В2, В3.... (предел равен В)

Предел новой последовательности, вообще, отличается от А. Обозначим его через В. По построению множество В инъективно А.

Далее упорядочиваем элементы этих множеств (мы упорядочиваем элементы множеств В1, В2...) так, чтобы порядок в последующем был продолжением (включал в себя) предыдущего. Таким образом мы создаем нумерацию элементов множеств, где на каждом шаге у нас появляется n элементов (n -конечно и для каждого шага различно или равно). Нам остается их пронумеровать (присвоить номера). В отличие от аксиомы №5 у нас на каждом этапе появляется не один элемент, а несколько. Естественно мы можем любой этап, где добавляется n элементов, разложить в n подэтапов. В результате наша последовательность "удлинится", но предел множеств будет таким же (В). В силу аксиомы №5 количество Элементов В - счетно. Значит счетно и А.

Резюмируя можно сказать так:
1. берем последовательность множеств.
2. приводим ее к вложенной последовательности (это не ограничевает общности, поскольку нас интересует количество).
3. "удлиняем" последовательность так, чтобы на каждом этапе появлялся один элемент.
4. применяем аксиому о натуральной мощности, №5.

Можно опредилить Вn как сумму от А1 до Аn (включительно), тогда теорема будет доказываться в условиях, что мощность Вn больше-равна Аn.

[CD_Eater]

Если применить эту теорему к последовательности множеств An, получим, что объединение всех множеств An счётно.
Как из этого получить счётность множества Ap ?

Вероятно, Вас запутало слово "предел".
Когда Вы говорите, что "результат предельного перехода - система Ар отрезков типа [x, x] длины 0", то под пределом понимается множество, составленное из пересечений каждой последовательности вложенных отрезков.
В теореме же под пределом последовательности конечных множеств понимается объединение этих множеств.
Это - пределы по разным операциям.

[Константин Давидюк]

Судя по всему вы плохо владеете операциями пересечения и объединения. К моему совету почитать Теорию множеств вы отнеслись с отмашкой. Я не из тех людей, которые будут тратить на вас свое время, объясняя им элементарные вещи. Читайте)

ПС. Если вам трудно читать вузовские учебники, то возьмите книгу за 8 класс - этих знаний вам хватит, чтобы разобраться.

[San_dok]

toCD_Eater
не вдавайся. посмотри на досуге.

[CD_Eater]

[Константин Давидюк]

Это вообще пробный способ построить взаимооднозначную функцию и никагого отношения к двум други способам до-ва счетности не имеет. Я доказал счетность двумя методами (независимыми): метрический и теоретико-множественный.

[CD_Eater]

И в двух этих методах одна и та же ошибка.
Вам не кажется странным, что на всех форумах Вам указывают на одну и ту же ошибку?
Ваше упрямство бы в мирных целях

[Константин Давидюк]

Странно, но мне не указывают этого на форумах, где эта тема обсуждается. Мало этого на форуме МИФИ я выкладываю рецензии РАН и других признаных докторов наук. Мне не указали в РАН, что это ошибка.Я веду честную игру) Кстати, советую зайти и почитать. Там много полезного.

Дело вот в чем. В этой теореме идет речь о мощностях (каардинальных числах) состав множеств (конкретные своиства или тип элементов) значения не имеют. Эта теорема называется в теории множеств: Теорема о кардинальных последовательностях.
Почитайте внимательнее и все поймете.

[ryzhiy]

В доказательстве Вы переходите к пределу по n и совершенно забываете про m.
В то время как предел m/2^n при n стреьмящемся к бесконесности при фиксированном m равен 0.
Из работы не ясно, каким именно образом ставится соответствие
системы Ap и системы [x,x]<->[0,1]?

[GREA]

Любое конкретное натуральное число - конечно. Именно по этому оно называется натуральным. Оно обозначает конкретный номер. Для него всегда есть предыдущий и последующий элемент. Всё это позволяет нам использовать его для счёта.
Разве есть смысл говорить о бесконечном натуральном числе, если для него ничего из этого не определено? Таких не бывает.

[KillerCrayon]

[Vadym]

Не страшась прослыть педантом, замечу, что автор темы систематически пропускает скобки в выражениях. Не выдержал, так как исправления всё-таки требуют умственных усилий, то есть, определённых уступок автору, который замахнулся на такое...

[sts64]

Не люблю критиковать, ибо сам грешен, но автор делает типичную ошибку используя житейскую логику вместо математической в своих рассуждениях. В своей книжке "Математическая смесь" Дж. Литлвуд приводит задачу, предостерегающую нас от вольного оперирования таким понятиями как предел и бесконечность. Вот она.
За две минуты до полудня в ящик помещают 10 пронумерованных шаров, через минуту шары с номерами 1-10 вынимают из ящика и помещают в него 20 шаров с последующими номерами. Через полминуты из ящика вынимают 10 шаров с номерами с 11 по 20 и кладут еще 20 последовательно занумерованных шаров и так далее. Спрашивается: сколько шаров будет в ящике по полудню?
Житейская логика говорит – бесконечность, ибо при каждой операции с шарами их количество в ящике увеличивается на 10! А математическая логика говорит, что в полдень ящик будет пустой. Подумайте над этим и тогда поймете, что множество Ар будет пустым и естественно счетным.
Кантор здесь не причём, он принадлежал к тому поколению математиков, которое обладало мощным и изощрённым умом. Такие люди теперь большая редкость.

[Odomontois]

Я новичёк, но правильно ли я понял ,что ошибка автора в том, что он путает два понятия предела? Предела множества и последовательности.
Ведь в итоге отрезок [x;x] с бесконечной записью в двоичной системе не входит ни в один из отрезков в дихотомическом построении, а следовательно не входит и предел этого множества?

[KillerCrayon]

[Odomontois]