Logo Море(!) аналитической информации!
IT-консалтинг Software Engineering Программирование СУБД Безопасность Internet Сети Операционные системы Hardware
Архив форумов ЦИТФорума
Море(!) вопросов - Море(!) ответов
 
 FAQFAQ   ПоискПоиск   ПользователиПользователи   ГруппыГруппы   РегистрацияРегистрация 
 ПрофильПрофиль   Войти и проверить личные сообщенияВойти и проверить личные сообщения   ВходВход 
Как правильно задавать вопросы

Счетность множества действительных чисел
На страницу 1, 2  След.
 
Перейти:  
Этот форум закрыт, вы не можете писать новые сообщения и редактировать старые.   Эта тема закрыта, вы не можете писать ответы и редактировать сообщения.    Список форумов Архив форумов ЦИТФорума -> Математика
Предыдущая тема :: Следующая тема  
Автор Сообщение
Константин Давидюк



Зарегистрирован: 28.04.2008
Сообщения: 5

СообщениеДобавлено: Пн Апр 28 2008 13:20    Заголовок сообщения: Счетность множества действительных чисел Ответить с цитатой

Метрическая схема доказательства счетности действительных чисел.

Регистрационный номер: №243 В-2008 от 25.03.2008г.

Введение.
В данной работе приводится метрическая схема доказательства счетности действительных чисел (N↔R).. Поскольку каждому действительному числу от 0 до 1 соответствует точка отрезка [0, 1], мы будем называть точки отрезка числами.

Обозначения:

↔ эквивалентно (равномощно)
→ знак соответствует
N множество натуральных чисел
R множество действительных чисел
[0, 1] отрезок от 0 до 1
+ операция объединения

Разбиение отрезка.

Возьмем любое натуральное число n большее 0 и 1. Пусть это будет число 2. Схема подходит для любого натурального числа: достаточно вместо числа 2 подставить любое другое натуральное число большее 0 и 1. Далее разобьем отрезок на две части (необязательно равные). Для наглядности будем в дальнейшем разбивать на равные части. Каждый из получившихся отрезков снова разобьем на 2 части и т.д. В результате получим следующую последовательность систем отрезков:

А1= ([0, 1/2]; [1/2, 1]) – 1-ый этап,
А2 = ([0, 1/4]; [1/4, 2/4]; [2/4, 3/4]; [3/4, 1]) – 2-ой этап,
:
Аn= ([0, 1 / 2^n]; … [2^n – 1 / 2^n, 1]) – n-ый этап
и т.д.

При неограниченном увеличении n обозначим через Ар результат предельного перехода (n →∞).
Рассмотрим отрезок [m / 2^n; m +1 / 2^n] где 0 ≤ m ≤ 2^n - 1. Этот отрезок удовлетворяет следующим условиям:

1. При стремлении n к бесконечности концы отрезка имеют пределом одно и то же действительное число x (отрезок стягивается в точку).
2. Длина этого отрезка стремится к 0, при стремлении n к бесконечности.

Счетность множества действительных чисел.

Если мы устремим n к бесконечности, то отрезок [m / 2^n, m+1 / 2^n] будет иметь своим пределом отрезок типа [x, x], где число x лежит между 0 и 1 (0≤ x ≤1) по построению. С другой стороны, для любого x (0≤ x ≤1) каждый отрезок типа [x, x] будет результатом стягивания концов одного из отрезков в построении, так как на каждом этапе n система отрезков An полностью покрывает отрезок [0, 1]:

[0, 1 / 2^n]+ …+ [2^n -1 / 2^n, 1] = [0, 1].

Итак, результат предельного перехода - система Ар отрезков типа [x, x] длины 0, для любого x (0≤ x ≤1). На каждом этапе n система Аn имеет 2^n элементов (система конечна), значит, система Ар, как результат последовательности конечных систем,- не более чем счетна (счетна). Далее, отрезку [x, x] можно поставить в соответствие число x, для этого надо взять функцию F: [x, x] → x. Функция F устанавливает взаимнооднозначное соответствие между счетной системой Ар и действительными числами отрезка [0, 1]. А это, в свою очередь, означает счетность множества действительных чисел. Если в рассмотрении использовать функцию G: [х, х] → х, где х – точка, то получаем доказательство счетности точек отрезка.

В доказательстве мы опирались на понятие длины отрезка (метрическое понятие). Поэтому построение носит название метрической схемы.

О ложности метода Кантора.

Рассмотрим указанную выше схему для n = 10 (разбиение кратное 10), где х принадлежит отрезку [0, 1]. Любой отрезок [х, х], можно представить как предел вложенных отрезков (см. построение); число x - как предел последовательности левых концов этих отрезков (можно рассматривать правые концы). Обозначим через А систему всех таких последовательностей. Таким образом, любое число х можно представить как предел последовательности, которая является элементом системы А:

0, а1; 0, а1,а2; 0, а1,а2,а3…→ х *

В доказательстве о несчетности Кантор отождествляет последовательность и ее предел, записывая это так: 0, а1, а2, а3, … (!)
Метод Кантора, примененный к системе А, дает последовательность, которая будет последовательностью выше указанного типа (*). Ее пределом будет некоторое число х отрезка [0, 1]. Но для этого числа х уже есть сходящаяся к нему последовательность (по разбиению). Таким образом, чтобы доказать свое предположение о несчетности действительных чисел, Кантор допускает две ошибки:

1. Отождествляет два различных понятия (последовательности и ее предела), забывая о том, что для одного и того же действительного числа х существует большое количество последовательностей, сходящихся к этому числу.

2. Построенная методом Кантора последовательность дублирует одну из исходных т.е. принадлежит А (см. построение А).

Исходя из сказанного, метод Кантора дает последовательность (ее предел - х), которой нет в списке (ряду последовательностей) только в том случае, когда список составлен специальным образом. При этом в списке все равно будет такая последовательность, которая имеет своим пределом число х. Это заблуждение Кантора рассмотрено также на теоритико-множественном уровне в работе «Отсутствие мощности континуума и счетность множества действительных чисел».

Выводы.

1. Доказана счетность множества действительных чисел метрическим способом (способ разбиения отрезка на части).
2. Указано на ошибки в доказательстве Кантора о несчетности с метрической точки зрения.
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
Константин Давидюк



Зарегистрирован: 28.04.2008
Сообщения: 5

СообщениеДобавлено: Пн Апр 28 2008 15:16    Заголовок сообщения: Ответить с цитатой

Теорема. Любая последовательность конечных множеств имеет своим пределом множество, которое не более чем счетно (счетно).

Доказательство: Рассмотрим возрастающую последовательность конечных множеств:

А1, А2, А3....... (предел равен А)

Если предыдущее множество не входит в последуешее , то создадим новую. Для этого выделяем любое подмножество из А2 равное по количеству А1 и заменяем его элементы на элементы А1. И т.д. В результате мы придем к последовательности, которая удовлетворяет правилу включения:

В1, В2, В3.... (предел равен В)

Предел новой последовательности, вообще, отличается от А. Обозначим его через В. По построению множество В инъективно А.

Далее упорядочиваем элементы этих множеств (мы упорядочиваем элементы множеств В1, В2...) так, чтобы порядок в последующем был продолжением (включал в себя) предыдущего. Таким образом мы создаем нумерацию элементов множеств, где на каждом шаге у нас появляется n элементов (n -конечно и для каждого шага различно или равно). Нам остается их пронумеровать (присвоить номера). В отличие от аксиомы №5 у нас на каждом этапе появляется не один элемент, а несколько. Естественно мы можем любой этап, где добавляется n элементов, разложить в n подэтапов. В результате наша последовательность "удлинится", но предел множеств будет таким же (В). В силу аксиомы №5 количество Элементов В - счетно. Значит счетно и А.

Резюмируя можно сказать так:
1. берем последовательность множеств.
2. приводим ее к вложенной последовательности (это не ограничевает общности, поскольку нас интересует количество).
3. "удлиняем" последовательность так, чтобы на каждом этапе появлялся один элемент.
4. применяем аксиому о натуральной мощности, №5.

Можно опредилить Вn как сумму от А1 до Аn (включительно), тогда теорема будет доказываться в условиях, что мощность Вn больше-равна Аn.
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
CD_Eater



Зарегистрирован: 27.09.2005
Сообщения: 5

СообщениеДобавлено: Пн Апр 28 2008 23:44    Заголовок сообщения: Ответить с цитатой

Если применить эту теорему к последовательности множеств An, получим, что объединение всех множеств An счётно.
Как из этого получить счётность множества Ap ?

Вероятно, Вас запутало слово "предел".
Когда Вы говорите, что "результат предельного перехода - система Ар отрезков типа [x, x] длины 0", то под пределом понимается множество, составленное из пересечений каждой последовательности вложенных отрезков.
В теореме же под пределом последовательности конечных множеств понимается объединение этих множеств.
Это - пределы по разным операциям.
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
Константин Давидюк



Зарегистрирован: 28.04.2008
Сообщения: 5

СообщениеДобавлено: Вт Апр 29 2008 11:11    Заголовок сообщения: Читайте товарисчь книги! Ответить с цитатой

Судя по всему вы плохо владеете операциями пересечения и объединения. К моему совету почитать Теорию множеств вы отнеслись с отмашкой. Я не из тех людей, которые будут тратить на вас свое время, объясняя им элементарные вещи. Читайте)

ПС. Если вам трудно читать вузовские учебники, то возьмите книгу за 8 класс - этих знаний вам хватит, чтобы разобраться.
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
San_dok



Зарегистрирован: 21.07.2006
Сообщения: 1649
Откуда: Rus\23

СообщениеДобавлено: Вт Апр 29 2008 11:53    Заголовок сообщения: Ответить с цитатой

toCD_Eater
не вдавайся. посмотри на досуге.
Цитата:
На форуме МехМата были заданы вопросы, на которые я так и не получил ответа (хоть какого-то). Единственный довод аппонентов - бан.
Хочу представить Вам, уважаемые посетители этого сайта, факты заблуждения математиков РАН в отношении континнума и конструкции Кантора..

оригинал http://forum.rapidshare.ru/showthread.php?t=2953

toAвтор
вы серьезно ошиблись форумом.
_________________
В тёмной комнате завсегда имеются тёмные грабли.
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
CD_Eater



Зарегистрирован: 27.09.2005
Сообщения: 5

СообщениеДобавлено: Вт Апр 29 2008 15:25    Заголовок сообщения: Ответить с цитатой

San_dok писал(а):
toCD_Eater
не вдавайся. посмотри на досуге.
оригинал http://forum.rapidshare.ru/showthread.php?t=2953


Спасибо. Теперь можно явно сформулировать то место, которое не понимает автор. Всё банально - автор не знает определения объединения множеств. Это видно из его "теоремы о бесконечных натуральных числах".

Цитата:
Теорема о бесконечных числах. Любая бесконечная последовательность А1 А2 А3 ….. ,
где Аn совпадает с одним из символов от 0 до 9, является натуральным числом.

Доказательство. Рассмотрим множество N упорядоченное естественным способом 0, 1, 2, 3… Построим схему нумерации этапов натуральных чисел. Возьмем для этого первые десять чисел, это будет первый этап. Затем возьмем все числа от 11 до 100 - это второй этап. В третьем этапе берем все числа от 101 до 1000. Продолжая процесс этапов таким образом, мы получаем разбиение всех натуральных чисел на классы, этапы:
1. 0, 1, ……10
2. 11, 12, …….100
3. 101, 102, ……1000
:
Когда число n (номер этапа) устремляется к бесконечности, мы получаем все натуральные числа. Рассмотрим подробнее этот процесс. На первом этапе мы получаем число 3. На втором этапе число 33. На третьем – 333 и т.д.. В результате, когда n перейдет к пределу, мы получим бесконечную последовательность троек т.е. 333….. По построению эта бесконечная последовательность троек является натуральным числом. То же самое можно доказать и для бесконечных последовательностей единиц, четверок, а также для любой бесконечной последовательности символов от 0 до 9.

Автор считает, что бесконечная цепочка троек входит в объединение множеств, содержащих конечные цепочки цифр. Аналогичная (но чуть видоизменённая) ошибка и является центром его доказательства счётности множества действительных чисел.

Можно только посоветовать автору почитать азы теории множеств.
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
Константин Давидюк



Зарегистрирован: 28.04.2008
Сообщения: 5

СообщениеДобавлено: Ср Апр 30 2008 08:28    Заголовок сообщения: Ответить с цитатой

Это вообще пробный способ построить взаимооднозначную функцию и никагого отношения к двум други способам до-ва счетности не имеет. Я доказал счетность двумя методами (независимыми): метрический и теоретико-множественный. Very Happy
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
CD_Eater



Зарегистрирован: 27.09.2005
Сообщения: 5

СообщениеДобавлено: Ср Апр 30 2008 18:10    Заголовок сообщения: Ответить с цитатой

И в двух этих методах одна и та же ошибка.
Вам не кажется странным, что на всех форумах Вам указывают на одну и ту же ошибку?
Ваше упрямство бы в мирных целях Smile
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
Константин Давидюк



Зарегистрирован: 28.04.2008
Сообщения: 5

СообщениеДобавлено: Чт Май 01 2008 21:08    Заголовок сообщения: Ответить с цитатой

Странно, но мне не указывают этого на форумах, где эта тема обсуждается. Мало этого на форуме МИФИ я выкладываю рецензии РАН и других признаных докторов наук. Мне не указали в РАН, что это ошибка.Я веду честную игру) Кстати, советую зайти и почитать. Там много полезного.

Дело вот в чем. В этой теореме идет речь о мощностях (каардинальных числах) состав множеств (конкретные своиства или тип элементов) значения не имеют. Эта теорема называется в теории множеств: Теорема о кардинальных последовательностях.
Почитайте внимательнее и все поймете.
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
ryzhiy



Зарегистрирован: 27.05.2008
Сообщения: 1

СообщениеДобавлено: Вт Май 27 2008 15:05    Заголовок сообщения: К вопросу о счетности множества R Ответить с цитатой

В доказательстве Вы переходите к пределу по n и совершенно забываете про m.
В то время как предел m/2^n при n стреьмящемся к бесконесности при фиксированном m равен 0.
Из работы не ясно, каким именно образом ставится соответствие
системы Ap и системы [x,x]<->[0,1]?
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
GREA



Зарегистрирован: 14.05.2003
Сообщения: 758
Откуда: Новосибирск

СообщениеДобавлено: Ср Июл 23 2008 11:26    Заголовок сообщения: Ответить с цитатой

Любое конкретное натуральное число - конечно. Именно по этому оно называется натуральным. Оно обозначает конкретный номер. Для него всегда есть предыдущий и последующий элемент. Всё это позволяет нам использовать его для счёта.
Разве есть смысл говорить о бесконечном натуральном числе, если для него ничего из этого не определено? Таких не бывает.
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
KillerCrayon



Зарегистрирован: 29.08.2008
Сообщения: 2
Откуда: xUSSR

СообщениеДобавлено: Пт Авг 29 2008 14:35    Заголовок сообщения: Re: Читайте товарисчь книги! Ответить с цитатой

Константин Давидюк писал(а):
ПС. Если вам трудно читать вузовские учебники, то возьмите книгу за 8 класс - этих знаний вам хватит, чтобы разобраться.

это недальновидный снобизм.

по метрическому методу:
сущность метода в создании двоичной нотации действительных чисел,
однако не доказано, что такая нотация обозначает счётность.
(равно как обладание людьми десятичной нотацией не доказывает счётность действительных чисел).

Теорема Кантора
Множество бесконечных последовательностей нулей и единиц несчетно.

ваша схема прямо ложится под эту формулировку и наглядно является разгромленной. Smile

а насколько я помню счётность множества всегда сводится к построению тождественности элементов множества ряду натуральных чисел. этого я у вас не увидел.[/url]
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
Vadym



Зарегистрирован: 20.04.2006
Сообщения: 17

СообщениеДобавлено: Вт Сен 23 2008 07:51    Заголовок сообщения: Ответить с цитатой

Не страшась прослыть педантом, замечу, что автор темы систематически пропускает скобки в выражениях. Не выдержал, так как исправления всё-таки требуют умственных усилий, то есть, определённых уступок автору, который замахнулся на такое...

Цитата:
А1= ([0, 1/2]; [1/2, 1]) – 1-ый этап,
А2 = ([0, 1/4]; [1/4, 2/4]; [2/4, 3/4]; [3/4, 1]) – 2-ой этап,
:
Аn= ([0, 1 / 2^n]; … [2^n – 1 / 2^n, 1]) – n-ый этап


Цитата:
Рассмотрим отрезок [m / 2^n; m +1 / 2^n] где 0 ≤ m ≤ 2^n - 1. Этот отрезок удовлетворяет следующим условиям:


Цитата:
Если мы устремим n к бесконечности, то отрезок [m / 2^n, m+1 / 2^n] будет иметь своим пределом отрезок типа [x, x], где число x лежит между 0 и 1 (0≤ x ≤1) по построению. С другой стороны, для любого x (0≤ x ≤1) каждый отрезок типа [x, x] будет результатом стягивания концов одного из отрезков в построении, так как на каждом этапе n система отрезков An полностью покрывает отрезок [0, 1]:

[0, 1 / 2^n]+ …+ [2^n -1 / 2^n, 1] = [0, 1].


Нападки на исключительно простое, общеизвестное, классическое доказательство Кантора даже не стал читать.

Всё это производит гнетущее впечатление, наводящее на мысли о бесплодном упорстве изобретателей perpetuum mobile.
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
sts64



Зарегистрирован: 13.10.2008
Сообщения: 1

СообщениеДобавлено: Пн Окт 13 2008 02:51    Заголовок сообщения: Ответить с цитатой

Не люблю критиковать, ибо сам грешен, но автор делает типичную ошибку используя житейскую логику вместо математической в своих рассуждениях. В своей книжке "Математическая смесь" Дж. Литлвуд приводит задачу, предостерегающую нас от вольного оперирования таким понятиями как предел и бесконечность. Вот она.
За две минуты до полудня в ящик помещают 10 пронумерованных шаров, через минуту шары с номерами 1-10 вынимают из ящика и помещают в него 20 шаров с последующими номерами. Через полминуты из ящика вынимают 10 шаров с номерами с 11 по 20 и кладут еще 20 последовательно занумерованных шаров и так далее. Спрашивается: сколько шаров будет в ящике по полудню?
Житейская логика говорит – бесконечность, ибо при каждой операции с шарами их количество в ящике увеличивается на 10! А математическая логика говорит, что в полдень ящик будет пустой. Подумайте над этим и тогда поймете, что множество Ар будет пустым и естественно счетным.
Кантор здесь не причём, он принадлежал к тому поколению математиков, которое обладало мощным и изощрённым умом. Такие люди теперь большая редкость.
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
Odomontois



Зарегистрирован: 30.10.2008
Сообщения: 5

СообщениеДобавлено: Чт Окт 30 2008 12:36    Заголовок сообщения: Ответить с цитатой

Я новичёк, но правильно ли я понял ,что ошибка автора в том, что он путает два понятия предела? Предела множества и последовательности.
Ведь в итоге отрезок [x;x] с бесконечной записью в двоичной системе не входит ни в один из отрезков в дихотомическом построении, а следовательно не входит и предел этого множества?
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
Показать сообщения:   
Этот форум закрыт, вы не можете писать новые сообщения и редактировать старые.   Эта тема закрыта, вы не можете писать ответы и редактировать сообщения.    Список форумов Архив форумов ЦИТФорума -> Математика Часовой пояс: GMT + 4
На страницу 1, 2  След.
Страница 1 из 2

 
Перейти:  
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете голосовать в опросах


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Русская поддержка phpBB

 

IT-консалтинг Software Engineering Программирование СУБД Безопасность Internet Сети Операционные системы Hardware

Информация для рекламодателей PR-акции, размещение рекламы — adv@citforum.ru,
тел. +7 495 6608306, ICQ 232284597
Пресс-релизы — pr@citforum.ru
Послать комментарий
Информация для авторов
This Web server launched on February 24, 1997
Copyright © 1997-2000 CIT, © 2001-2006 CIT Forum
Внимание! Любой из материалов, опубликованных на этом сервере, не может быть воспроизведен в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения владельцев авторских прав. Подробнее...